Personajes de ficción que no sabías que eran matemáticos

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Cuando un escritor o un guionista piensa en la profesión que tendrán sus personajes, probablemente la de matemático no es la primera que le viene a la cabeza y por ello no abundan en la ficción.

Hay matemáticos en libros, películas y series biográficas o sobre ciencia, pero no es tan habitual encontrarlos fuera del género. Continuar leyendo

Los enigmas matemáticos se hacen virales

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Últimamente las redes sociales como Facebook, Twitter, Linkedin…  aparecen plagadas de problemas básicos de álgebra y de lógica que suelen venir acompañados de frases tipo “el problema que los niños resuelven sin dificultad y los adultos no saben resolver” o “sólo el 2% de la población sabe resolver este problema”.

Esta moda ha llegado a tal punto que en ocasiones algunos de estos ejercicios aparecen en algún periódico bajo titulares como “¿Cuál es el resultado de la dichosa suma? El desafío matemático de Facebook” o “¿Sabría resolver un problema de matemáticas de Primaria?“.

enigma1Algunos de ellos tienen trampa, por ejemplo el de las frutas. Reconozco que la primera vez que lo intenté resolver piqué y pensé que la respuesta era 16, pero hay que fijarse bien en las frutas.

Pista: En la última suma sólo hay medio coco y 3 plátanos
Solución: 14

enigma2También hay una versión más freak, sin trampa. matematicascercanas.com la publicó para celebrar el Día de Star Wars.
Pista: El último X-Wing sólo tiene 3 patas
Solución: 23

También se han hecho populares problemas de lógica, uno de ellos es el conocido como “acertijo de Einstein”, para los que es necesario lápiz y papel y un poco de razonamiento lógico. Siguiendo las pistas paso a paso se puede encontrar la solución de este acertijo que según Einstein sólo el 2% de la población sería capaz de resolver.

einsteinEn una calle hay cinco casas de diferentes colores y en cada casa vive una persona de diferente nacionalidad. Los cinco dueños beben diferentes tipos de bebidas, fuman distintas marcas de cigarrillos y cada uno tiene una mascota diferente a la de los demás.
Sabemos que:

  • El británico vive en la casa roja
  • El sueco tiene un perro como mascota
  • El danés toma té
  • El noruego vive en la primera casa
  • El alemán fuma Prince
  • La casa verde queda inmediatamente a la izquierda de la blanca
  • El dueño de la casa verde bebe café
  • El propietario que fuma Pall Mall cría pájaros
  • El dueño de la casa amarilla fuma Dunhill
  • El hombre que vive en la casa del centro bebe leche
  • El hombre que fuma Blends vive al lado del que tiene un gato
  • El hombre que tiene un caballo vive al lado del que fuma Dunhill
  • El hombre que fuma Bluemaster toma cerveza
  • El hombre que fuma Blends vive al lado del que toma agua
  • El noruego vive al lado de la casa azul

¿quién es el dueño del pez?

Solución: enigma3

enigma4Por supuesto, tampoco pueden faltar los típicos problemas de cerillas, como este que publica Ingenuit en su cuenta de Twitter, en el que se reta a los ingenieros a dejar 3 cuadrados quitando solamente 5 cerillas.

Incluso se han publicado problemas que han aparecido en exámenes. Algunos de ellos han generado polémica, pero creo que este tema daría para hacer todo un post.

No sé muy bien cómo se originó esta moda de publicar acertijos matemáticos, ni cuánto tiempo durará. Pero lo cierto es que si estos juegos lanzados en las redes sociales nos hacen pensar un poco y motivan el razonamiento matemático, ¡Bienvenidos sean!

¿Os habéis encontrado más juegos de este tipo en vuestros muros o timelines?

El antepasado del Sudoku

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Hace unos años se puso de moda jugar al Sudoku, un pasatiempo en el que hay que rellenar una cuadrícula de 9×9 celdas dividida en subcuadrículas de 3×3 con las cifras del 1 al 9, partiendo de algunos números ya colocados en algunas de las celdas, de forma que no se repita ningún número en una misma fila, columna o subcuadrícula.Sudoku

Existen muchas variantes de sudokus: Sudoku X, Killer Sudoku, Sudokus de otros tamaños (4×4, 16×16, etc.), Sudoku Doble X, Sudoku Samurai, Kakuro

Pero mucho antes de que el Sudoku apareciera en nuestras vidas, existía un pasatiempo llamada Cuadrado mágico.

Un cuadrado mágico consiste en una ordenación de números en celdas formando un cuadrado, de tal modo que la suma de cada una de sus filas, de cada una de sus columnas y de cada una de sus diagonales da el mismo resultado (constante mágica). Se llama orden del cuadrado mágico al número de filas y columnas que tiene.

tortugaLo más curioso de los cuadrados mágicos es la historia que se esconde tras su origen y las supersticiones que los rodearen durante mucho tiempo.

Según una leyenda china, alrededor del año 2200 a. C. el río Lo estaba a punto de desbordarse y los habitantes de la zona hicieron varias ofrendas al dios del rio. Cada vez que lo hacían una tortuga aparecía en la orilla y despreciaba la ofrenda como si esta fuera insuficiente. La tortuga se apareció en sueños al Emperador Yu, el Grande, y se dio cuenta que en el caparazón de la tortuga aparecían los números naturales del 1 al 9. Estos números formaban un cuadrado mágico de orden 3 y constante mágica 15 y esa fue la ofrenda que hicieron al dios del río. Con ello se acabaron los problemas de inundaciones.

En la Edad Media se empezaron a usar los Cuadrados mágicos en Europa. Muchos matemáticos y astrónomos creían en la importancia de estos arreglos numéricos. Atribuían a ciertos números propiedades misteriosas. Los  cuadrados mágicos se utilizaron para predecir el futuro y curar enfermedades.

amuletoLa superstición era muy común entonces y creían que los cuadrados mágicos eran amuletos y servían de protección. Un cuadrado mágico de plata, colgando del cuello, era un amuleto que evitaba el contagio de la peste negra. En algunas cortes se grabaron cuadrados mágicos en los platos para prevenir posibles envenenamientos.

¿Te atreves a probarlo?

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Cuadrado Mágico de Gaudí. Sagrada Familia (Barcelona)

¿Es un juego la teoría de juegos?

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Ya comenté que la gran mayoría de películas y series que quieren hacer un guiño a las matemáticas recurren en algún momento a la sucesión de Fibonacci. Pero éste no es el único recurso utilizado repetidamente en cine y televisión. La teoría de juegos también aparece en muchas ocasiones.

El estreno de Una mente maravillosa, película que explica la vida del matemático John Nash, acercó la teoría de juegos al gran público. Pero, realmente, ¿qué es? Por el nombre parece algo muy sencillo, probablemente relacionado con probabilidades, pero la verdad es que es algo bastante más complicado basado en el estudio de probabilidades, estadística y programación lineal.

piedra-papel-tijeras-lagarto-spockPodemos encontrar alusiones a famosos ejemplos de Teoría de juegos como el Dilema del prisionero en El Caballero oscuro o el Juego de la gallina en Footloose. El famoso Piedra – Papel – Tijera – Lagarto – Spock de The Big BangTheory también está basado en esta teoría.En la serie Numb3rs aprendemos que gracias a la Teoría de juegos se pueden resolver unos asesinatos. Entre otros muchos ejemplos.

tresenraya

Fuente: pixabay

La Teoría de Juegos es un área de las matemáticas que se encarga de realizar modelos y estudiar la toma de decisiones en los “juegos”, entendiendo por juego un problema de decisión en el que intervienen varios agentes, que compiten o cooperan para conseguir sus objetivos. Son ejemplos característicos de juegos los juegos de mesa, pero también los conflictos militares, los modelos de evolución biológica, las campañas políticas o de publicidad, las situaciones de competencia entre empresas, etc.

Podemos diferenciar dos tipos de juegos que se deben analizar de forma distinta:

  1. caballero_oscuroJuegos con transferencia de utilidad (o cooperativos). Los jugadores pueden comunicarse entre  ellos y negociar un acuerdo. La problemática se concentra en el análisis de las posibles coaliciones, de su estabilidad y de cómo se deben repartir las ganancias entre los miembros de la coalición para que ninguno de ellos quiera romperla.
  2. Juegos sin transferencia de utilidad (o no cooperativos). Los jugadores no pueden llegar a acuerdos previos. Un ejemplo de este tipo de juegos es el Dilema del prisionero.

Para estudiar estos “juegos”, suelen representarse gráficamente mediante matrices y árboles de decisión. De este modo se pueden comprender mejor los razonamientos que llevan a un punto u otro. Algo mucho más complejo de lo que el “inocente” nombre sugiere.

Gráficas matemáticas que nunca te habías imaginado que existieran

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batman-logoCuando empecé este blog, con la intención de mostrar que las matemáticas están detrás de muchas más cosas de las que nos imaginamos, escribí una entrada sobre una foto que vi hace tiempo en Internet. Una fórmula matemática que al representarla gráficamente se obtiene el logo de Batman.

wa-logoInvestigando un poco más descubrí que en la web WolframAlpha, reconocido buscador científico de la empresa de software WolframResearch, se hacía eco de esta curiosa fórmula.

Pero esta no es la única fórmula sorprendente que encontramos. Introduciendo diferentes términos en su buscador, podemos hallar fórmulas matemáticas que al representarlas gráficamente nos muestran los logotipos de diversos superhéroes, redes sociales, marcas, etc. Algunos ejemplos son:

twitterBatman

Superman

Twitter

Facebook

Google (el antiguo logo)

Apple

Android

Pero no sólo encontramos logos, ¡hay incluso fórmulas que al representarlas muestran a famosos personajes animados!

The Flashfuturama

Doctor Zoidberg (de Futurama)

El increíble Hulk

Capitán América

Algunas de estas gráficas son muy complicadas y sería muy difícil hacerlas sin ayuda de un ordenador. Pero creo que son un gran punto de partida para explicar en clase las gráficas de funciones y su utilidad.

¿Conocéis más ejemplos?

Calculando como los antiguos egipcios

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Cuando somos pequeños, en el colegio, nos enseñan las cuatro operaciones básicas. Aprendemos a sumar, restar, multiplicar y dividir. Con el tiempo, y el uso de las calculadoras, dejamos de realizar las operaciones manualmente y muchas personas olvidan algunos de estos procedimientos básicos. Sin ir más lejos, conozco a muchos adultos que no tienen ningún reparo en reconocer abiertamente que tendrían dificultades para realizar una división con papel y lápiz.

piramidePero, ¿alguna vez os habéis parado a pensar cómo se lo hacían para calcula en el antiguo Egipto? Los papiros son casi ininteligibles, así que, ¡imaginad si los escritos son sobre matemáticas!

Para empezar, el sistema de numeración no es el mismo que usamos hoy en día. en el periodo Predinástico se usaba un sistema de numeración decimal escrito en jeroglíficos:

numeros_jeroglificos

Los demás valores se expresaban con la repetición del símbolo, el número de veces que fuera necesario. El orden de los símbolos no era importante, ya que cada símbolo tenía un único valor.

Alrededor de 2150 a. C se empezó a usar un sistema hierático, formas más simples que permitían mayor rapidez y comodidad a los escribas. Se introdujeron símbolos particulares para algunas cantidades como 20, 30, etc.

Sumas y restas

Simplemente unían los signos para sumar: suma y resta

Si los pies señalaban en la dirección de la escritura, significaban suma. Y si señalaban la dirección contraria, resta.

Las sumas se realizaban del modo más simple posible. Se agrupaban las cifras iguales y , en el caso de tener 10 iguales se sustituían por uno de la siguiente potencia de 10.

Las restas se realizaban de modo análogo a las sumas. Se descomponía una decena en 10 unidades y se eliminaban tantas unidades del minuendo como indicaba el sustraendo. Del mismo modo para el resto de centenas, unidades de millar, etc.

 

Multiplicación

Para multiplicar usaban un método conocido como duplicación y mediación. Este método consiste únicamente en sumar y multiplicar por dos. Por ejemplo, para multiplicar 36×40

  1. Escribimos dos columnas. En la primera columna escribimos el mayor de los números que queremos multiplicar (40) y posteriormente sus dobles.
  2. En la segunda columna escribimos un 1 y sus dobles.
  3. Los dobles se escribirán hasta obtener en la segunda columna el mayor número posible pero sin llegar al segundo número que queremos multiplicar (36).
  4. Marcamos las cifras necesarias, de la segunda columna, que sumen el número menor (el 36).
  5. El resultado de la multiplicación es la suma de las cifras de la primera columna marcadas.

40          1

80          2

160        4

320        8

640        16

1.280     32 (paramos aquí porque el próximo doble es 64 >36)

Marcamos el 8 y el 32 porque 32+4=36, y cogemos los números correspondientes de la primera columna.

Por tanto,  40×36 = 160 + 1.280 = 1.440

División

Para dividir dos números usaban el procedimiento inverso de la multiplicación.

Por ejemplo. si queremos dividir 42:7

  1. Se forman las dos columnas pero em la primera columna se escribe el divisor (7) y sus dobles hasta obtener el mayor número posible pero sin llegar al dividendo (42).
  2. En esta ocasión se marcan los números de la primera columna cuya suma es el dividendo, y sumando los correspondientes de la segunda columna se halla el cociente.

7            1

14          2

28          4

56          8

Marcamos el 14 y el 28 porque 14+28=42, y cogemos los números correspondientes de la segunda columna.

42:7 = 2 + 4 = 6

Pero esta división era exacta, ¿qué pasa cuando no lo es? En ese caso la operación se complica bastante más. Los escribas egipcios usaban las fracciones unitarias para acabar de completar. En la segunda columna escribían la fracción unitaria y en la primera la parte correspondiente del divisor.

Veamos por ejemplo, 25:3

3            1

6            2

12          4

24          8

1            1/3

25 = 24 + 1

Por tanto, 25:3 = 8+1/3

jeroglificoCon esto vemos que el trabajo de dividir no consiste únicamente en duplicar y sumar. Este caso es muy sencillo, sólo es necesario añadir 1/3. Pero ¿de qué forma sabían las fracciones a escribir en la segunda columna? No se han encontrado pruebas que expliquen qué fracciones usar, parece que se basaba sobretodo en la práctica.

Así que, aunque haya personas que olvidan el procedimiento moderno, ¿no os parece que es mucho más sencillo que el usado por los antiguos egipcios? Muy probablemente estos procedimientos los olvidarían muchas más personas.

¿De dónde viene…?

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Estamos muy acostumbrados a escribir operaciones matemáticas utilizando números y signos en expresiones algebraicas. Tenemos este lenguaje  tan interiorizado que nos parece que siempre se han escrito así las matemáticas. Pero nada más lejos de la realidad. ¿Alguna vez te has parado a pensar de dónde sale el signo “igual” o por qué en las ecuaciones la incógnita es una ”x”?

Aquí intento dar respuesta a algunas preguntas de este tipo.

 

¿Cuándo se empezaron a usar las cifras arábigas?

Todos sabemos que las cifras que para representar los números  (1, 2, 3,…) usamos los números arábigos (también llamados números indoarábigos). Estos números reciben este nombre porque los árabes los introdujeron en Europa aunque se empezaron a usar en la India.

Liber-Abaci-Book-Of-Calculation-002En la Edad Media, Fibonacci aprendió éste sistema de numeración adoptado y mejorado por los árabes. En su tratado “Líber Abaci”, publicado en 1202, empleaba este sistema de numeración, enseñando su uso en aritmética e introduciendo definitivamente estos números.

Respecto al origen de las cifras, existen diferentes teorías que intentan explicar el motivo por el cual se eligieron estos símbolos. Una de las más populares, aunque errónea, propone que las formas originales indicaban su valor a través de la cantidad de ángulos que contenían.

Imagen1

¿De dónde surge el signo =?

igualEl matemático y médico galés Robert Recorde usó por primera vez este símbolo en 1557 en su tratado TheWhetstone of Witte. Eligió dos líneas paralelas puesto que “dos cosas no pueden ser más iguales que dos rectas paralelas”.

Inicialmente las líneas del símbolo eran más largas, pero posteriormente se acortaron. El uso de este símbolo no fue popularizado y aceptado hasta comienzos del siglo XVIII.

 

¿Por qué la incógnita es x?

XEn árabe Shei significaba “una cosa” y es la palabra que se usaba en los tratados matemáticos para representar una cantidad numérica no conocida. Cuando estos escritos llegaron a Europa y se tradujeron, esta palabra se tradujo a xei, mucho más sencilla de leer en el alfabeto griego, puesto que no existia una letra que representara “Sh”. Con el tiempo se fue acortando hasta convertirse simplemente en una “x”.

¿Por qué se llama número Pi?

PiEl número pi (3,14159265358979323846…) es la relación que existe entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. A lo largo de la historia se han realizado diferentes aproximaciones de su valor, pero no fue hasta el siglo XVIII que se usó el nombre de Pi.

Se decidió usar la letra griega π (pi) por ser la inicial de las palabras periferia (περιφέρεια) y perímetro  (περίμετρον). Se usó por primera vez alrededor del año 1700, pero no se popularizó hasta 1748 , gracia a la obra “Introducción al cálculo infinitesimal”  de Leonhard Euler.

Los matemáticos no somos gente seria

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El mes de septiembre es el mes del fin de las vacaciones, vuelta al colegio y al trabajo, etc. así que creo que es un buen momento para reírnos un poco y, ¿por qué no?, reírnos con las matemáticas.

libroUna buena manera es con el libro Los matemáticos no son gente seria. Mis padres me lo regalaron hace años, cuando aún no había empezado a estudiar la carrera de matemáticas. Fue mi primer libro que tuve sobre matemáticas que no era un libro de texto.

De este modo descubrí a dos grandes divulgadores matemáticos, a los que empecé a seguir: Claudi Alsina y Miguel de Guzmán. En este libro recopilan una serie de anécdotas de diferentes matemáticos. Historias divertidas, algunas descabelladas, que te hacen reír y pasar un buen rato.

En estos años me he dedicado a recopilar diferentes tiras cómicas con las matemáticas como protagonistas:

tira_1

¿Quién no recuerda al simpático Conde Draco que nos enseñaba a contar en Barrio Sesamo?

Esta de Liniers en su cómic Macanudo me encanta:

tira_4

Un par de tiras de Calvin y Hobbes. Geniales, como siempre:

tira_2

tira_3Forges, con motivo del Congreso Internacional de Matemáticas que se celebró en Madrid en el 2006.

tira_5

Y Mafalda, por supuesto, no puede faltar:

tira_7 tira_6

¡Espero haberos hecho pasar un rato divertido!

El secreto matemático de los Simpson

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Ya es agosto y, para la mayoría de nosotros, eso significa vacaciones y tiempo para, por ejemplo, leer un buen libro.

Así que creo que este es un buen momento para hablar de un libro muy interesante que descubrí hace poco más de un año.

cubierta Simpson cartoneLos Simpson y las matemáticas es un libro de tapa amarillo chillón que llama la atención rápidamente. Cuando vi que su autor era  Simon Singh, el mismo autor que había escrito El enigma de Fermat, me llamó aún más la atención.

En la contraportada podemos leer: (…) la serie cuenta entre sus creadores con más doctorados en matemáticas que cualquier otro programa de televisión (…)

lisa_estadisticasEn cada capítulo del libro se habla de un tema matemático y cómo ha aparecido en la serie. Algunos de los temas tratados en el libro son: El número Π, el Último teorema de Fermat, teoría de probabilidad, la máquina de Galton, estadística, los primos de Mersenne, etc.

Algunas de estas referencias aparecen claramente en los capítulos de los Simpson, pero otras aparecen de forma muy sutil, siendo pequeños guiños de los guionistas aptos únicamente para personas con conocimientos avanzados de matemáticas. Algunas de ellas, lamentablemente, se pierden en la traducción al castellano.

futuramaPara tratar algunos de los temas, en lugar de hablar de los Simpson, se habla de Futurama, otra serie de los mismos creadores.

El libro está repleto de anécdotas de los guionistas, historias curiosas de las matemáticas. Cada tres o cuatro capítulos, el autor nos propone un examen. Estos exámenes no son más que una recopilación de chistes matemáticos. Si te hacen gracia más de la mitad, habrás aprobado el examen.

Fermat2.Donut.Simpsons.jpgPor todo ello, os recomiendo leer este libro. Con él descubriréis que las matemáticas y el humor no son incompatibles y que los Simpson esconden muchas cosas que normalmente pasan desapercibidas. Os prometo que después de leerlo no veréis esta serie con los mismos ojos.

Pero nadie mejor que el propio Simon Singh para explicar los secretos de este libro

Os recomiendo leer también el siguiente artículo de El Pais:

Los 10 mejores momentos matemáticos de ‘Los Simpson’

Banda de Möbius, ¿un simple objeto matemático?

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banda

Una de las figuras topológicas más conocidas, tanto por los aficionados a las matemáticas como por los que no lo son, es la banda de Möbius. Fue descubierta en 1858, de forma independiente por el matemático y astrónomo August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing, que está considerado como el fundador de la topología.

construir_bandaDe forma sencilla podemos pensar que la banda de Möbius como una cinta en la que hemos unido los dos extremos, pero antes de unirlos giramos 180º uno de ellos.

Lo que hace que esta cinta sea tan conocida, es que se ha utilizado muchas veces en diferentes obras de artes, logotipos, incluso en objetos cotidianos como zapatos, anillos, bufandas, sofás…

moebius

Algunas propiedades

Desde el punto de vista topológico, la banda de Möbius es una superficie con un único borde y una única cara que, además, es no orientable.

– Al pasar un lápiz por la cara de la banda, cuando se llega al punto de partida, se comprueba que se ha pasado por los dos lados de la banda y, por tanto, tiene una única cara.

– Si tomamos una banda de Möbius y la cortamos por la mitad, no obtenemos dos bandas como nos podríamos imaginar, obtenemos una única cinta (que no es una banda de Möbius).

– Si cortamos la banda por su tercera parte, obtenemos entrelazadas una banda de Möebius el doble de larga de la banda original y una cinta.

En este vídeo se muestran todas estas propiedades:

Utilidades muy reales

Pero, ¿realmente la banda de Möbius tiene alguna utilidad? Pues sí, no es únicamente una figura meramente topológica. Además de todas las propiedades matemáticas, tiene otras muchas utilidades en la vida real. Y como muestra, aquí os dejo algunas patentes relacionadas con la banda de Möbius:

– En 1923, Lee De Forest obtuvo una patente norteamericana para una película cerrada en banda de Moebius sobre la cual podía grabarse en sonido por ambos lados. La misma idea se aplicó posteriormente a cintas magnetofónicas, que podían grabar el doble de tiempo que las normales.

– En 1952 James O. Trinkle, en Estados Unidos, patentó una cinta transportadora de caucho que se usaba para llevar materiales calientes como cenizas o arena de fundición. Dándole media vuelta en la forma de cinta de Moebius, se desgasta por igual por ambos lados, o mejor dicho, por su único lado.

– En 1971 Nicholas Kondur Jr. patentó un cartucho con cinta de tinta de Möbius: la banda tintada doblaba así su longitud efectiva. La tinta depositada en la cinta (que se mueve por medio de un rodillo transportador) puede volverse a llenar por medio de una almohadilla de tinta que está en contacto con la cinta.

Y, para acabar, una viñeta de El bueno de Cuttlas sobre la banda de Moebius.

cutllas