El Pato Donald descubre las matemáticas

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Este año, el Pato Donald ha cumplido nada más y nada menos que 80 años.

¿Quién no disfrutó de pequeño con sus aventuras? Un pato que lleva camisa y gorra de marinero pero que no lleva pantalones. Un pato que habla de un modo extraño que en ocasiones es difícil de entender.

Sin duda alguna, la película que más me sorprendió la descubrí siendo ya adulta, cuando me explicaron que se había realizado una película llamada Donald en el País de las matemágicas (Donald in Mathmagic Land). Una película de 25 minutos producida por Walt Disney en 1959.

La primera vez que oí hablar de esta película no me lo acababa de creer, pero más adelante tuve la ocasión de verla y me sorprendió la forma en la que el Espíritu de la Aventura http://www.disney.es le explica a un Donald explorador que está en la tierra de las matemáticas y le guía para descubrir los misterios de la proporción áurea, relación de la matemáticas y la música, las matemáticas y el billar…

Una película muy recomendable tanto para los aficionados a las matemáticas como para los que no lo son tanto, que les descubrirá cosas que no se habían planteado antes. Para aquellos que no la conozcan, deberían verla aunque sólo sea como curiosidad.

Imprescindible para niños a partir de 10 años, que descubrirán de forma amena que las matemáticas están detrás de muchas cosas de nuestro entorno.

Teorema de… ¿Pitágoras?

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triangulo

Teorema de Pitágoras

hipotenusa2=cateto2+cateto2. Así es como todos aprendimos en el colegio el famoso Teorema de Pitágoras, posiblemente el único teorema que recuerden muchas personas.

Lo que no nos explicaron a la mayoría de nosotros es que en realidad este teorema no lo enunció Pitágoras, ya lo conocían en China, Mesopotamia y Egipto, mucho antes de los tiempos de Pitágoras. Entonces, ¿por qué se lo conoce con este nombre?

pitagoras

Pitágoras de Samos

Los pitagóricos (seguidores de Pitágoras) no descubrieron este enunciado pero sí que fueron los primeros en encontrar una demostración formal del teorema y de demostrar, también, el enunciado inverso (si los lados de un triángulo cumplen la ecuación, entonces el triángulo es rectángulo). Lo que no podemos saber es si el teorema lo demostró Pitágoras o alguno de sus discípulos ya que los conocimientos de todos se transmitían oralmente y siempre se atribuían al maestro.

Los seguidores de Pitágoras formaban una sociedad griega de astrónomos, músicos, matemáticos y filósofos, conocida como la Escuela pitagórica. Se caracterizaban por considerar que todas las cosas son números y que todas las magnitudes son conmensurables. Es decir, dadas dos magnitudes siempre se puede escribir una de ellas como la otra multiplicada por un número racional.

Según sus teorías no podían existir los números irracionales, pero al intentar medir la diagonal de un cuadrado de lado 1, se demostró que el resultado (Raíz de 2) no es racional. Este hecho, demostrado por Hipaso de Metaponto, representó un duro golpe para ellos, ya que contradecía una de sus creencias más firmes. Según cuenta la leyenda, Hipaso rompió la regla de silencio de los pitagóricos explicando al mundo la existencia de estos nuevos números. Este hecho hizo que lo expulsaran de la escuela y erigieran una tumba con su nombre, mostrando así que para ellos, él estaba muerto. Hipaso murió posteriormente en un naufragio en circunstancias misteriosas. Existen dos versiones de lo que sucedió, ¿se suicidó o lo mataron los propios pitagóricos?

Además del voto de silencio, esta escuela (que también podría considerarse una secta) tenían otras reglas bastante sorprendentes:

pitagoricos

Pitágoras y sus discípulos

– Apártate de los caminos frecuentados y camina por los senderos.
– No revuelvas el fuego con un cuchillo (o instrumento de hierro).
– Al calzarte, comienza por el pie derecho, y al lavarte, por el izquierdo.
– No hables de las cuestiones pitagóricas sin luz.
– No pases nunca por encima de un yugo.
– Cuando estés fuera de casa, no vuelvas nunca la vista atrás, pues las Erinias siguen tus pasos.
– No permitas que una golondrina haga su nido bajo tu tejado.
– No lleves anillo.
– No te mires al espejo junto a una lámpara.
– No te dejes poseer por una risa incontenible.
– No te cortes las uñas durante un sacrificio.
– Escupe sobre los recortes de tu pelo y las limaduras de tus uñas.
– Abstente de las habas.
– Abstente de los seres vivos.
– No recojas cosas que han caído al suelo.

No me extrañaría que la fama de “raros” y “excéntricos” que tenemos los matemáticos se hubiera empezado a crear en la época de Pitágoras.

Si Fibonacci levantase la cabeza

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“Si quieres dotar una trama de un tono científico, habla de la sucesión de Fibonacci”. Imagino que esta frase o alguna parecida es lo que deben de decir en todas las escuelas de guión, porque es impresionante en la cantidad de películas y series en las que aparece esta famosa sucesión, aunque de forma no siempre justificada.

Pero, ¿qué es exactamente la sucesión de Fibonacci? La siguiente serie infinita de números naturales:  1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34… En la que cada término se obtiene sumando los dos anteriores.

Siempre he creído que hablar de ella es un recurso fácil puesto que, para un espectador poco habituado al lenguaje matemático, es sencilla de entender. Además, esconde una gran cantidad de propiedades, algunas de ellas sorprendentes. Es por ello que es tan sencillo caer en la tentación y utilizarla como recurso.

Algunos de las propiedades son:

-La división entre dos números consecutivos es siempre diferente, pero el límite de estas divisiones es el número áureo (Phi).

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Triángulo de Pascal

– Cualquier número natural se puede escribir como la suma de un número limitado de términos diferentes de la sucesión de Fibonacci.

– Los números de Fibonacci aparecen al sumar las diagonales del triángulo de Pascal.

También es famosa por aparecer en la naturaleza, como  por ejemplo:

– En una piña, en un girasol, en girasollas ramas de los árboles, en la flor de la alcachofa, etc. El número de espirales en numerosas flores y frutos también se ajusta a parejas consecutivas de términos de esta sucesión: los girasoles tienen 55 espirales en un sentido y 89 en el otro, o bien 89 y 144. La razón es, simplemente, que las plantas tratan de poner el mayor número posible de semillas en el menor espacio posible y de ahí que se formen estas espirales.

– También está presente en los huracanes, algunas galaxias, etc.

El número Phi, que se obtiene mediante la sucesión de Fibonacci, también aparece en numerosas ocasiones en la naturaleza, en el arte, en la arquitectura, etc. En otra entrada ya hablaré con más detalle de este número.

Algunos ejemplos de series y películas en las que aparece la sucesión: El código Da Vinci, 21: Blackjack, Pi, fe en el caos, Mr. Magorium y su tienda mágica, Death Note: L, Change the World, Fringe, Mentes Criminales, Venganza, Fenómenos extraños, Numb3rs, Hora de Aventuras, Las Supernenas, etc.

La ecuación de Batman

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Este mes de mayo, Batman ha cumplido 75 años. Ya sea por los cómics, el cine o la tv, todos conocemos a este personaje y somos capaces de reconocer su logo. Pero J. Matthew Register quiso buscar lo que se escondía detrás de ese logo y construyó una ecuación matemática cuya representación gráfica es el murciélago más famoso del mundo del cómic.

Calculó esta “sencilla” ecuación

formula

Y al representarla gráficamente obtuvo:

ecuacion

ecuacion_colores¿Y cómo lo hizo? Definió las ecuaciones de las diferentes partes del logo:

Una elipse (color rojo), una curva(color amarillo),  dos rectas (color negro), dos rectas que se unen en un punto (color lila), una recta horizontal (color azúl), y una curva (color verde). Después calculó los puntos de corte entre las gráficas para acabar de definir la Ecuación de Batman.

Pero para mí, lo más sorprendente de todo, es que esta ecuación se ha hecho universal y que incluso en la web de Wolfram Alpha (buscador de respuestas desarrollado por la compañía de software matemático Wolfram Research) tiene en su base de datos la “batman equation” y simplemente introduciendo este concepto en la web hace la representación gráfica y facilita la fórmula en cuestión.

captura

TAIKAKU: Una App para diagonalizar matrices

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Recuerdo que, cuando estaba estudiando la carrera, todo el mundo quería tener una calculadora HP 48 GX, una de aquellas calculadoras programables y que todo cualquier tipo de operaciones con matrices. Aunque pocos eran los afortunados que tenían una.

screen1Taikaku – Diagonaliza tu matriz es una app para iPhone que resuelve una de aquellas operaciones a las que cualquier estudiante de ciencias (empresariales, informática, ingenierías, matemáticas, etc.) se debe afrontar: El cálculo de valores y vectores propios de una matriz. Por menos de un euro puedes tener en tu bolsillo una herramienta para realizar estos cálculos que pocas calculadoras realizan.

Dirigida a estudiantes y profesores de las carreras de ciencias que en sus temarios de Matemáticas o Álgebra tienen que diagonalizar matrices, esta aplicación se compone de dos partes diferenciadas: Resolver matriz y Generar ejercicio.

screen2En Resolver matriz, el usuario introduce los elementos de la matriz 2×2 o 3×3 que quiere resolver y como resultado obtendrá la matriz diagonal (formada por los valores propios) y la matriz de cambio de base (formada por los vectores propios). En caso de que la matriz no sea diagonalizable, también se le indicará.

Los vectores propios siempre se darán normalizados. Así que si quieres verificar si tu resultado coincide con el de la aplicación, únicamente has de normalizar los vectores que has obtenido y compararlos.

screen3En Generar ejercicio, el usuario sólo debe escoger el tamaño de la matriz y el valor máximo que puedan alcanzar los elementos de la matriz y la aplicación le dará una matriz aleatoria para poder practicar.

De este modo, esta aplicación no sólo sirve para resolver matrices, sino que también genera ejercicios para seguir practicando.

Taikaku se puede descargar en la AppStore