La belleza de la razón áurea

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Entre estos tres rectángulos, ¿cuál crees que es más “armonioso”?

rectangulos

La mayoría de personas elegirán el rectángulo B. Y eso no es casualidad.  De hecho, la mayoría de rectángulos que nos encontramos en nuestro día a día (DNI, tarjetas de crédito, cajetillas de tabaco, etc.) son prácticamente iguales a este rectángulo que es conocido como rectángulo áureo.

Pero, ¿qué tiene de especial? Al dividir la base entre la altura se obtiene el número áureo Φ = 1,618033989… (también conocido como número de oro, proporción áurea y divina proporción).

parthenon

Parthenon

Esta relación ya era conocida por los antiguos griegos, que la usaron, por ejemplo en el Parthenon. Pero éste no es el único caso en que se usa la razón áurea en la arquitectura. Está presente también en la catedral de Nôtre Damme, la Torre Eiffel, en la escaleras del Vaticano, en el Edificio de la O.N.U en Nueva York, en la Alhambra, etc.

gioconda

Gioconda

Al ser considerado armónica, esta razón está presente en otras muchas áreas del arte. En pintura, por ejemplo, se puede encontrar  en el Hombre de Vitrubio y la Gioconda  de da Vinci, la Carta de Vermeer,  el Nacimiento de Venus de Boticelli, la Taza suspendida de Dalí, etc.

David

El David

Esta misma razón también se ha tenido en cuenta para definir la belleza humana, sobre todo en el Renacimiento. Por ello, la usó  Miguel Ángel en su escultura El David, encontrándose, por ejemplo, en la posición del ombligo con respecto a la altura y en la colocación de las articulaciones de los dedos.

Podemos comprobar nosotros mismos si somos armónicos, viendo si las siguientes relaciones se aproximan al número áureo:

– La relación entre la altura y la altura del ombligo.
– La relación entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos.
– La relación entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla.

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MatrixGauss: El método de Gauss en una aplicación

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Una de las primeras cosas que aprendes cuando empiezas a trabajar con matrices es el método de Gauss. Un método para triangularizar una matriz mediante transformaciones elementales por filas y/o columnas.

MatrixGauss es una aplicación para iOS ideal para estudiantes y profesores de matemáticas que necesitan realizar este tipo de cálculos de una manera rápida y mostrando todos los pasos. Trabaja con números enteros y racionales en forma de fracción o decimales, es como si se hicieran las operaciones en un papel.

El funcionamiento es muy sencillo. Primero se elige dimensión de la matriz (número de filas y de columnas).  A continuación se introducen los elementos de la matriz.

pantalla1

En la pantalla de Operaciones nos encontramos con diferentes opciones:

pantalla3– Intercambiar filas;  Multiplicar una fila por un número; Sumar a una fila otra multiplicada por un número.

– Intercambiar columnas;  Multiplicar una columna por un número; Sumar a una columna otra multiplicada por un número.

– Gauss (realiza el método de Gauss paso por paso y mostrando todos los resultados intentando coger siempre el camino más fácil); Identidad (realiza los pasos necesarios para intentar llegar a la matriz identidad en el caso de que sea cuadrada y si no, hasta conseguir tener a la izquierda la Identidad.

– Determinante (muestra el valor del determinante de la matriz directamente sin ningún cálculo intermedio); Inversa (muestra la inversa de la matriz, en el caso de que exista, sin cálculos intermedios); Transpuesta (calcula la matriz transpuesta); Adjunta (muestra la matriz adjunta).

Se pueden enviar todas las operaciones que hay en pantalla por e-mail, exportar las operaciones, imprimir, pasar a PDF y guardar en Dropbox tanto la versión html como la PDF.

MatrixGauss se puede descargar en la AppStore:

https://itunes.apple.com/es/app/matrixgauss/id541293916?mt=8

AndroGauss2 se puede descargar en Google Play:

https://play.google.com/store/apps/details?id=jorquera.android.es.androgauss2&hl=es

Peinando cocos

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Existe una rama de las matemáticas, llamada topología, que se dedica al estudio de las propiedades de los cuerpos geométricos que son invariantes bajo homeomorfismos. Coloquialmente podríamos decir que la topología estudia las propiedades de un cuerpo que no cambian cuando lo deformamos.

La Topología se interesa por conceptos como proximidad, número de agujeros, el tipo de consistencia, etcétera. Los cuadrados, por ejemplo, son considerados iguales a los círculos porque pueden ser transformados en círculos sin rasgar o romper. Y de ahí viene el título de este blog ” Transformando rosquillas en una taza de té” porque, para un topólogo, una rosquilla y una taza de té son lo mismo. Si la rosquilla fuera de plastilina se podría deformar sin romperse hasta obtener una taza con un asa.

donut

puentesUno de los primeros enunciados de esta rama de las matemáticas es el problema de los puentes de Koenigsberg. “En la ciudad de Konigsberg, en Prusia, hay una isla A, llamada Kneiphof, rodeada por los dos brazos del río Pregel. Hay siete puentes que cruzan los dos brazos del río. La cuestión consiste en determinar si una persona puede realizar un paseo de tal forma que cruce cada uno de estos puentes una sola vez”.

La topología trabaja con ideas aparentemente muy sencillas y visuales, pero que a la vez son muy complejas. Por eso, hay muchas cuestiones que son muy fáciles de explicar a aquellos que no son muy buenos en matemáticas y les pueden sorprender aunque no alcancen a comprender toda la teoría que se esconde detrás. Algunos de ellos pueden ser:

Klein_Mobius– La construcción de nuevos objetos geométricos muy particulares como la banda de Möbius o la botella de Klein.

– El conocido como teorema de la bola peluda o teorema del coco, que puede explicarse diciendo que un coco no se puede peinar, siempre habrá un remolino. Aunque matemáticamente se enuncia como “Sobre una esfera real de dimensión n, siendo n≥2 y par, todo campo vectorial continuo X se anula en al menos un punto v.”

La utilidad de los números primos

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nube

Números primos entre 2 y 1000

Después de aprender a multiplicar y a dividir, una de las primeras cosas que nos enseñan son los números primos. Nos los definen como aquellos números que sólo pueden dividirse entre sí mismos y entre 1 (2, 3, 5, 7, …) .

El método más común para hallar estos números es la criba de Eratóstenes. Si quisiéramos, por ejemplo,  calcular todos los números primos menores de 100 seguiríamos los siguientes pasos:

– Escribimos todos los números de 2 a 100.
– Eliminamos de la lista los múltiplos de 2.
– Tomamos el primer número después del 2 que no hemos eliminado (el 3) y eliminamos de la lista todos sus múltiplos.
– Repetimos el paso anterior con el primer número posterior a 3 que nos hemos eliminado (el 5) y así sucesivamente.
– Terminamos cuando el cuadrado del mayor número que hemos confirmado que es primo es mayor que el número final de la lista.
– Los números que no hemos tachado son primos.

Pero todo este proceso, ¿para qué sirve realmente? Cuando estudiábamos nos explicaron como factorizar números en sus divisores primos y esto nos resultaba muy útil para simplificar fracciones. Pero… ¿eso es todo? ¡Por supuesto que no! ¡Incluso podríamos ganar dinero!

Los números primos son esenciales en programas de seguridad informática, muy importante hoy en día para realizar ciertas operaciones por internet, pagos con tarjetas de crédito, etc. Cuanto mayor sea el número primo utilizado, más difícil será descifrar el código. Así que encontrar números primos “gigantes” es un problema actual en el que están involucradas miles de personas.

Uno de los principales problemas en el cálculo de números primos es que no se rigen por ningún patrón en concreto, aunque sí que se conocen algunos teoremas que ayudan a encontrar “candidatos” como, por ejemplo, los números de Mersenne.

Por este motivo, se ha creado el proyecto colaborativo GIMPS  (Great Internet Mersenne Prime Search) en el que voluntarios utilizan los tiempos muertos de su CPU para  conseguir números primo de Mersenne de más de 10 millones de dígitos. En caso de conseguirlo, se llevará 100.000$ de recompensa de la EFF (Electronic Frontier Foundation). ¿Alguien se anima?