Hexágonos en la naturaleza

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hexagonosEl hexágono es un polígono que está muy presente en la naturaleza. Al decir esto, probablemente el primer ejemplo en el que pensamos es el de los panales de miel construidos por las abejas. Pero también podemos encontrar hexágonos en el caparazón de una tortuga, en la piel de una serpiente, en las grietas de las rocas, en los copos de nieve, en las marcas del salar, en las burbujas de jabón…

Teselar una superficie consiste en cubrirla con figuras de forma que no queden espacios sin cubrir y que dichas figuras no se superpongan. Un caso particular sería cuando la figura utilizada es siempre el mismo polígono regular. Este caso se conoce como teselado regular.

El triángulo, el cuadrado y el hexágono son los únicos polígonos que permiten hacer teselados regulares, cualquier otro polígono deja partes de la superficie sin cubrir.

Pero, ¿por qué las abejas escogen el hexágono en lugar del triángulo o el cuadrado?

pappusPappus de Alejandría, matemático griego, ya se planteó esta misma pregunta y observó que el hexágono es la forma de almacenar mayor cantidad de miel utilizando la menor cantidad de cera posible. Puesto que si comparamos un triángulo, un cuadrado y un hexágono construidos con la misma cantidad de cera (con el mismo perímetro) en el hexágono cabe más miel (el área definida es mayor).

abejaLas abejas, en virtud de cierta intuición geométrica, saben que el hexágono es mayor que el cuadrado y que el triángulo, y que podrá contener más miel con el mismo gasto de material”. Pappus de Alejandría.

En el siglo XVII, Erasmus Barthlin, sugirió que quizás las abejas no pretenden construir hexágonos, simplemente intentan definir el mayor área posible (que sería una esfera) pero que la presión de las celdas contiguas hace que se forme el hexágono (del mismo modo que pasa con una capa de burbujas de jabón). Charles Darwin también propuso esta teoría, aunque no pudo demostrarla.

Bhushan Karihaloo realizó estudios en los que propone que la cera, que se ablanda por el calor de los cuerpos de las abejas, se transforma en celdas hexagonales por la tensión superficial en los puntos en los que coinciden tres paredes. Publicó sus resultados en julio del 2013 en The Royal Society Journal.

Estas teorías contradicen el mito de que las abejas saben de geometría pero, igualmente, demuestran que la forma hexagonal de los panales no es casual, es la manera más eficiente de almacenar miel.

Cuatro colores son suficientes

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Todos nosotros de pequeños habíamos tenido que colorear mapas. Cogíamos diferentes lápices y pintábamos cada país de un color diferente. Pero, ¿cuántos colores necesitábamos como mínimo para que dos países fronterizos fuesen de distinto color? Normalmente usábamos muchos colores, pero ¿sabías que con cuatro es suficiente?

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Ejemplo de mapa coloreado

A mediados del siglo XIX los impresores de mapas consideraban que cuatro colores son suficientes para colorear adecuadamente cualquier mapa, pero nunca se había demostrado. En 1852 surgió por primera vez la pregunta de si este hecho se podía demostrar y posteriormente, en 1878 se propuso como problema interesante en la London Mathematical Society.

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Kenneth Appel y Wolfgang Haken

Aunque parece un enunciado sencillo y utilizado como cierto por los impresores, fue necesario más de un siglo para poder demostrar formalmente que, efectivamente, cuatro colores son suficientes para colorear un mapa cualquiera de modo que dos países fronterizos sean de color diferente. En 1976fue demostrado por Kenneth Appel y Wolfgang Haken. Pero el verdadero punto de inflexión de este teorema es que por primera vez se utilizaron ordenadores para demostrarlo. Este hecho no agrada a todo el mundo. Los matemáticos más puros, es que la demostración no tiene elegancia: “una buena prueba matemática es similar a un poema —¡pero esto es una guía telefónica!”

Este teorema se convirtió en pieza clave de la llamada teoría de grafos, puesto que para llegar a demostrarlo se hicieron muchos avances en esta disciplina. El teorema formulado formalmente sería “Los vértices de cualquier grafo plano pueden ser coloreados con cuatro colores de forma que los vértices adyacentes estén coloreados con colores diferentes.”

Construyendo fractales geométricos a gran escala

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Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. Pero, eso exactamente, ¿qué significa? Pues que en un fractal, si coges un trozo y lo amplías lo suficiente, vuelves a obtener el objeto que tenías inicialmente.

sierpinski

Waclaw Sierpinski

Waclaw Sierpinski fue un matemático polaco que contribuyó al progreso de la teoría de conjuntos y de la topología. Dedicó una parte de sus investigaciones al estudio de distintas formas de fractales que me parecen muy interesantes.

Quizás el fractal representativo que definió es el triángulo de Sierpinski. Para generarlo se parte de un triángulo equilátero (iteración n=0), tomamos el punto medio de cada lado y los unimos creando un nuevo triángulo invertido dentro del anterior y cuyo lado es la mitad (iteración n=1). Recortamos este triángulo. Repetimos el mismo proceso con los tres triángulo que nos quedan (iteración n=2) y recortamos también los nuevos triángulos. Si repetimos infinitamente el proceso obtendremos una figura fractal denominada triángulo de Sierpinski.

triangulo_iteraciones

Al final, se obtiene una figura como ésta:

Sierpinski_triangle

Fuente: wikimedia

De un modo parecido, partiendo de un cuadrado se puede generar la llamada alfombra de Sierpinski. Comenzamos con un cuadrado y dividimos cada lado el 3 partes iguales, al unir los puntos el cuadrado queda dividido en 9 cuadrados congruentes, y eliminamos el cuadrado central. Repetimos este proceso en cada cuadrado.

alfombra

En mayo de este año empezó un bonito proyecto relacionado con la alfombra de Sierpinski, en el que se propone que niños de diferentes colegios hagan su trozo de alfombra para finalmente unir todas las partes. ¿Hasta dónde serán capaces de llegar?

Encontraréis la información aquí: http://topologia.wordpress.com/2014/06/03/proyecto-alfombra-de-sierpinski/

El Momath (National Museum of Mathematics) de Nueva York, junto con otras 20 organizaciones de todo el mundo, está realizando ahora mismo un proyecto semejante pero partiendo de un cubo. Este tipo de fractal se conoce con el nombre de esponja de Menger.

El megamenger, que así es como se llama el proyecto, intenta crear un fractal de este tipo  que medirá unos 4 metros. Impresionantes algunas de las fotos publicadas en Tweeter del proceso de construcción.

Más información en: http://www.megamenger.com/

¿Te animas a crear tu propio fractal geométrico?

La fórmula preferida del profesor

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imagen1Se han hecho muchas películas protagonizadas por matemáticos. Pero una de las que más me han llamado la atención es una película no muy conocida. La fórmula preferida del profesor (Hakase no aishita sushiki), película japonesa del 2005 basada en el libro homónimo de Yoko Ogawa.

imagen2La historia empieza con una clase de matemáticas, en la que el joven profesor se presenta a sus alumnos como “Raíz” (por la forma de su pelo) y quién le puso ese mote y le inculcó el amor por los números.

El profesor recuerda como, cuando era niño, su madre fue contratada como asistenta de un profesor que, a consecuencia de un accidente, tenía una memoria limitada a 80 minutos. Para poder recordar detalles importantes, tenía que llevar papeles con notas cosidos a la ropa, lo que le daba un aspecto algo estrafalario.

imagen4Pese a que cada día la relación entre la madre de “Raíz” y el profesor volvía a comenzar, entablan una hermosa historia de amistad basada en el respeto, la fascinación por los números y sus propiedades, la afición por el béisbol y la educación del niño.

La película intercala momentos de la clase de matemáticas con momentos de la infancia de “Raíz”.

imagen3Algunos de los conceptos que aparecen en la película son: los números factoriales, los números primos, números amigos, raíz cuadrada, números imaginarios, los números “pi” y “e”, la identidad de Euler, etc. También se citan nombres de matemáticos como Pitágoras, Bombelli, Pascal, Fermat, Descartes, Neper y Euler.

Una de las explicaciones que más me gustaron, es la de los números imaginarios. El número “i” es un número muy modesto que se escribe con el carácter de “franqueza” y el carácter de “humildad”. Eso nunca aparece en la letra visible pero siempre está en nuestros corazones. Usando sus pequeños brazos para soportar la palabra completa.

La película no se estrenó ni se ha comercializado en España, pero se puede ver en Youtube subtitulada:

Ficha técnica.

Título: La ecuación preferida del profesor (The professor´s beloved equation – Hakase no aishita sushiki).
Director: Takashi Koizumi.
Actores: Akira Terao, Eri Fukatsu, Takanari Saito, Hidetaka Yoshioka, Ruriko Asaoka, Hisashi Igawa.