Banda de Möbius, ¿un simple objeto matemático?

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banda

Una de las figuras topológicas más conocidas, tanto por los aficionados a las matemáticas como por los que no lo son, es la banda de Möbius. Fue descubierta en 1858, de forma independiente por el matemático y astrónomo August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing, que está considerado como el fundador de la topología.

construir_bandaDe forma sencilla podemos pensar que la banda de Möbius como una cinta en la que hemos unido los dos extremos, pero antes de unirlos giramos 180º uno de ellos.

Lo que hace que esta cinta sea tan conocida, es que se ha utilizado muchas veces en diferentes obras de artes, logotipos, incluso en objetos cotidianos como zapatos, anillos, bufandas, sofás…

moebius

Algunas propiedades

Desde el punto de vista topológico, la banda de Möbius es una superficie con un único borde y una única cara que, además, es no orientable.

– Al pasar un lápiz por la cara de la banda, cuando se llega al punto de partida, se comprueba que se ha pasado por los dos lados de la banda y, por tanto, tiene una única cara.

– Si tomamos una banda de Möbius y la cortamos por la mitad, no obtenemos dos bandas como nos podríamos imaginar, obtenemos una única cinta (que no es una banda de Möbius).

– Si cortamos la banda por su tercera parte, obtenemos entrelazadas una banda de Möebius el doble de larga de la banda original y una cinta.

En este vídeo se muestran todas estas propiedades:

Utilidades muy reales

Pero, ¿realmente la banda de Möbius tiene alguna utilidad? Pues sí, no es únicamente una figura meramente topológica. Además de todas las propiedades matemáticas, tiene otras muchas utilidades en la vida real. Y como muestra, aquí os dejo algunas patentes relacionadas con la banda de Möbius:

– En 1923, Lee De Forest obtuvo una patente norteamericana para una película cerrada en banda de Moebius sobre la cual podía grabarse en sonido por ambos lados. La misma idea se aplicó posteriormente a cintas magnetofónicas, que podían grabar el doble de tiempo que las normales.

– En 1952 James O. Trinkle, en Estados Unidos, patentó una cinta transportadora de caucho que se usaba para llevar materiales calientes como cenizas o arena de fundición. Dándole media vuelta en la forma de cinta de Moebius, se desgasta por igual por ambos lados, o mejor dicho, por su único lado.

– En 1971 Nicholas Kondur Jr. patentó un cartucho con cinta de tinta de Möbius: la banda tintada doblaba así su longitud efectiva. La tinta depositada en la cinta (que se mueve por medio de un rodillo transportador) puede volverse a llenar por medio de una almohadilla de tinta que está en contacto con la cinta.

Y, para acabar, una viñeta de El bueno de Cuttlas sobre la banda de Moebius.

cutllas

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Los otros libros de Lewis Carroll

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Este año se cumplen 150 años de la publicación Alice’s Adventures in Wonderland (Las aventuras de Alicia en el país de las maravillas).

Su autor fue Lewis Carroll (alias de Charles Lutwidge Dodgson), un matemático y lógico que hasta ese momento había escrito obras relacionadas con el álgebra. Utilizó un seudónimo porque no quería ser famoso. Cuando se descubrió que él era el autor de los libros de Alicia escribió una carta a una amiga diciendo «(…) odio tanto todo eso que a veces pienso que ojalá no hubiera escrito ningún libro.».

Algunas de sus obras que combinan matemáticas y literatura fueron:

The Game of Logic (El juego de la lógica)

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Con el objetivo de popularizar la lógica simbólica, Carroll escribió este ensayo filosófico y de problemas matemáticos sobre las claves de lógica. Pretendía escribir un libro que sirviera de ayuda para los jóvenes, tanto en las escuelas secundarias como en casa. En este libro se refleja la obsesión del autor por tenerlo todo calculado.

A tangled tale (Un cuento enmarañado)

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Cada capítulo (aquí llamado nudo) se narra una historia que combina el ingenio y encanto de las mejores obras de Carroll con problemas de aritmética, álgebra y geometría.

Con este libro busca la diversión y aprendizaje de los lectores, por ello, primero se publicó por entregas y muchos lectores enviaron soluciones a los problemas planteados. A partir de estas respuestas, Carroll da divertidas explicaciones sobre los métodos para resolver los problemas.

Pillow Problems (Problemas de almohada)

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Reúne setenta y dos problemas matemáticos ideados y resueltos mentalmente por el autor (mientras permanecía despierto en la cama o mientras paseaba) centrados en Álgebra, Geometría y Trigonometría.

Aunque con este prólogo parezca que los problemas son de solución sencilla o corta, es posible que para algunos lectores con menos experiencia no se traten de problemas triviales para responder mentalmente, pero os invito a coger papel y lápiz y resolverlos.

Matemática demente

matematica_demente

Selección realizada por Leopoldo María Panero  que ofrece una selección de cuentos que plantean cuestiones matemáticas (de aritmética, álgebra o geometría). Todos ellos nos muestran lo cómico que puede resultar aplicar la lógica a algunos problemas que parecen absurdos.

Según Carroll estos cuentos se escribieron para entretenimiento, y posible edificación, de los lectores.

Os animo a descubrir al matemático que se esconde detrás de la maravillosa Alicia.

Mandelbrot y sus fractales

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Cuando escribí la entrada sobre los fractales geométricos prometí que volvería a escribir sobre este tema. En esta ocasión me gustaría presentaros a uno de los precursores de la Geometría Fractal: Benoit Mandelbrot

Fuente: www.bbc.co.uk

La palabra fractal  proviene de la palabra latina fractus (quebrado) y apareció por primera vez en el libro The Fractal Geometry of Nature de Benoît Mandelbrot en 1977.

Aunque el término “fractal” es reciente, los objetos hoy denominados fractales eran bien conocidos en matemáticas desde principios del siglo XX. A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características:

  • Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.
  • Es autosimilar, sus partes tienen la misma forma o estructura que el todo, aunque pueden presentarse a diferente escala y pueden estar ligeramente deformadas. Según Mandelbrot, pueden presentar 3 clases diferentes de autosimilitud: Exacta (el fractal resulta idéntico a cualquier escala); Cuasiautosimilitud (con el cambio de escala, las copias del conjunto son muy semejantes, pero no idénticas);  Autosimilitud estadística (sólo se conservan algunas propiedades estadísticas durante el cambio de escala).

Normalmente un fractal se construye mediante una fórmula o función que se va iterando. Aunque otra forma de lograrlo es mediante recursividad. Con estos dos métodos es como solemos conseguir la autosimilitud de los fractales, ya que aplicamos la misma función a diferentes niveles. También es  muy importante la elección del método de coloreado de los resultados.

El conjunto de Mandelbrot es el más conocido de los conjuntos fractales y el más estudiado.

Fuente: wikipedia

Os recomiendo un vídeo TED del propio Mandelbrot hablando sobre fractales. Todo un lujo. Poco más que añadir.

De las leyes más simples nacen infinitas maravillas que se repiten indefinidamente