¿Es un juego la teoría de juegos?

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Ya comenté que la gran mayoría de películas y series que quieren hacer un guiño a las matemáticas recurren en algún momento a la sucesión de Fibonacci. Pero éste no es el único recurso utilizado repetidamente en cine y televisión. La teoría de juegos también aparece en muchas ocasiones.

El estreno de Una mente maravillosa, película que explica la vida del matemático John Nash, acercó la teoría de juegos al gran público. Pero, realmente, ¿qué es? Por el nombre parece algo muy sencillo, probablemente relacionado con probabilidades, pero la verdad es que es algo bastante más complicado basado en el estudio de probabilidades, estadística y programación lineal.

piedra-papel-tijeras-lagarto-spockPodemos encontrar alusiones a famosos ejemplos de Teoría de juegos como el Dilema del prisionero en El Caballero oscuro o el Juego de la gallina en Footloose. El famoso Piedra – Papel – Tijera – Lagarto – Spock de The Big BangTheory también está basado en esta teoría.En la serie Numb3rs aprendemos que gracias a la Teoría de juegos se pueden resolver unos asesinatos. Entre otros muchos ejemplos.

tresenraya

Fuente: pixabay

La Teoría de Juegos es un área de las matemáticas que se encarga de realizar modelos y estudiar la toma de decisiones en los “juegos”, entendiendo por juego un problema de decisión en el que intervienen varios agentes, que compiten o cooperan para conseguir sus objetivos. Son ejemplos característicos de juegos los juegos de mesa, pero también los conflictos militares, los modelos de evolución biológica, las campañas políticas o de publicidad, las situaciones de competencia entre empresas, etc.

Podemos diferenciar dos tipos de juegos que se deben analizar de forma distinta:

  1. caballero_oscuroJuegos con transferencia de utilidad (o cooperativos). Los jugadores pueden comunicarse entre  ellos y negociar un acuerdo. La problemática se concentra en el análisis de las posibles coaliciones, de su estabilidad y de cómo se deben repartir las ganancias entre los miembros de la coalición para que ninguno de ellos quiera romperla.
  2. Juegos sin transferencia de utilidad (o no cooperativos). Los jugadores no pueden llegar a acuerdos previos. Un ejemplo de este tipo de juegos es el Dilema del prisionero.

Para estudiar estos “juegos”, suelen representarse gráficamente mediante matrices y árboles de decisión. De este modo se pueden comprender mejor los razonamientos que llevan a un punto u otro. Algo mucho más complejo de lo que el “inocente” nombre sugiere.

Gráficas matemáticas que nunca te habías imaginado que existieran

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batman-logoCuando empecé este blog, con la intención de mostrar que las matemáticas están detrás de muchas más cosas de las que nos imaginamos, escribí una entrada sobre una foto que vi hace tiempo en Internet. Una fórmula matemática que al representarla gráficamente se obtiene el logo de Batman.

wa-logoInvestigando un poco más descubrí que en la web WolframAlpha, reconocido buscador científico de la empresa de software WolframResearch, se hacía eco de esta curiosa fórmula.

Pero esta no es la única fórmula sorprendente que encontramos. Introduciendo diferentes términos en su buscador, podemos hallar fórmulas matemáticas que al representarlas gráficamente nos muestran los logotipos de diversos superhéroes, redes sociales, marcas, etc. Algunos ejemplos son:

twitterBatman

Superman

Twitter

Facebook

Google (el antiguo logo)

Apple

Android

Pero no sólo encontramos logos, ¡hay incluso fórmulas que al representarlas muestran a famosos personajes animados!

The Flashfuturama

Doctor Zoidberg (de Futurama)

El increíble Hulk

Capitán América

Algunas de estas gráficas son muy complicadas y sería muy difícil hacerlas sin ayuda de un ordenador. Pero creo que son un gran punto de partida para explicar en clase las gráficas de funciones y su utilidad.

¿Conocéis más ejemplos?

Calculando como los antiguos egipcios

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Cuando somos pequeños, en el colegio, nos enseñan las cuatro operaciones básicas. Aprendemos a sumar, restar, multiplicar y dividir. Con el tiempo, y el uso de las calculadoras, dejamos de realizar las operaciones manualmente y muchas personas olvidan algunos de estos procedimientos básicos. Sin ir más lejos, conozco a muchos adultos que no tienen ningún reparo en reconocer abiertamente que tendrían dificultades para realizar una división con papel y lápiz.

piramidePero, ¿alguna vez os habéis parado a pensar cómo se lo hacían para calcula en el antiguo Egipto? Los papiros son casi ininteligibles, así que, ¡imaginad si los escritos son sobre matemáticas!

Para empezar, el sistema de numeración no es el mismo que usamos hoy en día. en el periodo Predinástico se usaba un sistema de numeración decimal escrito en jeroglíficos:

numeros_jeroglificos

Los demás valores se expresaban con la repetición del símbolo, el número de veces que fuera necesario. El orden de los símbolos no era importante, ya que cada símbolo tenía un único valor.

Alrededor de 2150 a. C se empezó a usar un sistema hierático, formas más simples que permitían mayor rapidez y comodidad a los escribas. Se introdujeron símbolos particulares para algunas cantidades como 20, 30, etc.

Sumas y restas

Simplemente unían los signos para sumar: suma y resta

Si los pies señalaban en la dirección de la escritura, significaban suma. Y si señalaban la dirección contraria, resta.

Las sumas se realizaban del modo más simple posible. Se agrupaban las cifras iguales y , en el caso de tener 10 iguales se sustituían por uno de la siguiente potencia de 10.

Las restas se realizaban de modo análogo a las sumas. Se descomponía una decena en 10 unidades y se eliminaban tantas unidades del minuendo como indicaba el sustraendo. Del mismo modo para el resto de centenas, unidades de millar, etc.

 

Multiplicación

Para multiplicar usaban un método conocido como duplicación y mediación. Este método consiste únicamente en sumar y multiplicar por dos. Por ejemplo, para multiplicar 36×40

  1. Escribimos dos columnas. En la primera columna escribimos el mayor de los números que queremos multiplicar (40) y posteriormente sus dobles.
  2. En la segunda columna escribimos un 1 y sus dobles.
  3. Los dobles se escribirán hasta obtener en la segunda columna el mayor número posible pero sin llegar al segundo número que queremos multiplicar (36).
  4. Marcamos las cifras necesarias, de la segunda columna, que sumen el número menor (el 36).
  5. El resultado de la multiplicación es la suma de las cifras de la primera columna marcadas.

40          1

80          2

160        4

320        8

640        16

1.280     32 (paramos aquí porque el próximo doble es 64 >36)

Marcamos el 8 y el 32 porque 32+4=36, y cogemos los números correspondientes de la primera columna.

Por tanto,  40×36 = 160 + 1.280 = 1.440

División

Para dividir dos números usaban el procedimiento inverso de la multiplicación.

Por ejemplo. si queremos dividir 42:7

  1. Se forman las dos columnas pero em la primera columna se escribe el divisor (7) y sus dobles hasta obtener el mayor número posible pero sin llegar al dividendo (42).
  2. En esta ocasión se marcan los números de la primera columna cuya suma es el dividendo, y sumando los correspondientes de la segunda columna se halla el cociente.

7            1

14          2

28          4

56          8

Marcamos el 14 y el 28 porque 14+28=42, y cogemos los números correspondientes de la segunda columna.

42:7 = 2 + 4 = 6

Pero esta división era exacta, ¿qué pasa cuando no lo es? En ese caso la operación se complica bastante más. Los escribas egipcios usaban las fracciones unitarias para acabar de completar. En la segunda columna escribían la fracción unitaria y en la primera la parte correspondiente del divisor.

Veamos por ejemplo, 25:3

3            1

6            2

12          4

24          8

1            1/3

25 = 24 + 1

Por tanto, 25:3 = 8+1/3

jeroglificoCon esto vemos que el trabajo de dividir no consiste únicamente en duplicar y sumar. Este caso es muy sencillo, sólo es necesario añadir 1/3. Pero ¿de qué forma sabían las fracciones a escribir en la segunda columna? No se han encontrado pruebas que expliquen qué fracciones usar, parece que se basaba sobretodo en la práctica.

Así que, aunque haya personas que olvidan el procedimiento moderno, ¿no os parece que es mucho más sencillo que el usado por los antiguos egipcios? Muy probablemente estos procedimientos los olvidarían muchas más personas.