Mandelbrot y sus fractales

Estándar

Cuando escribí la entrada sobre los fractales geométricos prometí que volvería a escribir sobre este tema. En esta ocasión me gustaría presentaros a uno de los precursores de la Geometría Fractal: Benoit Mandelbrot

Fuente: www.bbc.co.uk

La palabra fractal  proviene de la palabra latina fractus (quebrado) y apareció por primera vez en el libro The Fractal Geometry of Nature de Benoît Mandelbrot en 1977.

Aunque el término “fractal” es reciente, los objetos hoy denominados fractales eran bien conocidos en matemáticas desde principios del siglo XX. A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características:

  • Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.
  • Es autosimilar, sus partes tienen la misma forma o estructura que el todo, aunque pueden presentarse a diferente escala y pueden estar ligeramente deformadas. Según Mandelbrot, pueden presentar 3 clases diferentes de autosimilitud: Exacta (el fractal resulta idéntico a cualquier escala); Cuasiautosimilitud (con el cambio de escala, las copias del conjunto son muy semejantes, pero no idénticas);  Autosimilitud estadística (sólo se conservan algunas propiedades estadísticas durante el cambio de escala).

Normalmente un fractal se construye mediante una fórmula o función que se va iterando. Aunque otra forma de lograrlo es mediante recursividad. Con estos dos métodos es como solemos conseguir la autosimilitud de los fractales, ya que aplicamos la misma función a diferentes niveles. También es  muy importante la elección del método de coloreado de los resultados.

El conjunto de Mandelbrot es el más conocido de los conjuntos fractales y el más estudiado.

Fuente: wikipedia

Os recomiendo un vídeo TED del propio Mandelbrot hablando sobre fractales. Todo un lujo. Poco más que añadir.

De las leyes más simples nacen infinitas maravillas que se repiten indefinidamente

Construyendo fractales geométricos a gran escala

Estándar

Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. Pero, eso exactamente, ¿qué significa? Pues que en un fractal, si coges un trozo y lo amplías lo suficiente, vuelves a obtener el objeto que tenías inicialmente.

sierpinski

Waclaw Sierpinski

Waclaw Sierpinski fue un matemático polaco que contribuyó al progreso de la teoría de conjuntos y de la topología. Dedicó una parte de sus investigaciones al estudio de distintas formas de fractales que me parecen muy interesantes.

Quizás el fractal representativo que definió es el triángulo de Sierpinski. Para generarlo se parte de un triángulo equilátero (iteración n=0), tomamos el punto medio de cada lado y los unimos creando un nuevo triángulo invertido dentro del anterior y cuyo lado es la mitad (iteración n=1). Recortamos este triángulo. Repetimos el mismo proceso con los tres triángulo que nos quedan (iteración n=2) y recortamos también los nuevos triángulos. Si repetimos infinitamente el proceso obtendremos una figura fractal denominada triángulo de Sierpinski.

triangulo_iteraciones

Al final, se obtiene una figura como ésta:

Sierpinski_triangle

Fuente: wikimedia

De un modo parecido, partiendo de un cuadrado se puede generar la llamada alfombra de Sierpinski. Comenzamos con un cuadrado y dividimos cada lado el 3 partes iguales, al unir los puntos el cuadrado queda dividido en 9 cuadrados congruentes, y eliminamos el cuadrado central. Repetimos este proceso en cada cuadrado.

alfombra

En mayo de este año empezó un bonito proyecto relacionado con la alfombra de Sierpinski, en el que se propone que niños de diferentes colegios hagan su trozo de alfombra para finalmente unir todas las partes. ¿Hasta dónde serán capaces de llegar?

Encontraréis la información aquí: http://topologia.wordpress.com/2014/06/03/proyecto-alfombra-de-sierpinski/

El Momath (National Museum of Mathematics) de Nueva York, junto con otras 20 organizaciones de todo el mundo, está realizando ahora mismo un proyecto semejante pero partiendo de un cubo. Este tipo de fractal se conoce con el nombre de esponja de Menger.

El megamenger, que así es como se llama el proyecto, intenta crear un fractal de este tipo  que medirá unos 4 metros. Impresionantes algunas de las fotos publicadas en Tweeter del proceso de construcción.

Más información en: http://www.megamenger.com/

¿Te animas a crear tu propio fractal geométrico?