El antepasado del Sudoku

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Hace unos años se puso de moda jugar al Sudoku, un pasatiempo en el que hay que rellenar una cuadrícula de 9×9 celdas dividida en subcuadrículas de 3×3 con las cifras del 1 al 9, partiendo de algunos números ya colocados en algunas de las celdas, de forma que no se repita ningún número en una misma fila, columna o subcuadrícula.Sudoku

Existen muchas variantes de sudokus: Sudoku X, Killer Sudoku, Sudokus de otros tamaños (4×4, 16×16, etc.), Sudoku Doble X, Sudoku Samurai, Kakuro

Pero mucho antes de que el Sudoku apareciera en nuestras vidas, existía un pasatiempo llamada Cuadrado mágico.

Un cuadrado mágico consiste en una ordenación de números en celdas formando un cuadrado, de tal modo que la suma de cada una de sus filas, de cada una de sus columnas y de cada una de sus diagonales da el mismo resultado (constante mágica). Se llama orden del cuadrado mágico al número de filas y columnas que tiene.

tortugaLo más curioso de los cuadrados mágicos es la historia que se esconde tras su origen y las supersticiones que los rodearen durante mucho tiempo.

Según una leyenda china, alrededor del año 2200 a. C. el río Lo estaba a punto de desbordarse y los habitantes de la zona hicieron varias ofrendas al dios del rio. Cada vez que lo hacían una tortuga aparecía en la orilla y despreciaba la ofrenda como si esta fuera insuficiente. La tortuga se apareció en sueños al Emperador Yu, el Grande, y se dio cuenta que en el caparazón de la tortuga aparecían los números naturales del 1 al 9. Estos números formaban un cuadrado mágico de orden 3 y constante mágica 15 y esa fue la ofrenda que hicieron al dios del río. Con ello se acabaron los problemas de inundaciones.

En la Edad Media se empezaron a usar los Cuadrados mágicos en Europa. Muchos matemáticos y astrónomos creían en la importancia de estos arreglos numéricos. Atribuían a ciertos números propiedades misteriosas. Los  cuadrados mágicos se utilizaron para predecir el futuro y curar enfermedades.

amuletoLa superstición era muy común entonces y creían que los cuadrados mágicos eran amuletos y servían de protección. Un cuadrado mágico de plata, colgando del cuello, era un amuleto que evitaba el contagio de la peste negra. En algunas cortes se grabaron cuadrados mágicos en los platos para prevenir posibles envenenamientos.

¿Te atreves a probarlo?

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Cuadrado Mágico de Gaudí. Sagrada Familia (Barcelona)

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Calculando como los antiguos egipcios

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Cuando somos pequeños, en el colegio, nos enseñan las cuatro operaciones básicas. Aprendemos a sumar, restar, multiplicar y dividir. Con el tiempo, y el uso de las calculadoras, dejamos de realizar las operaciones manualmente y muchas personas olvidan algunos de estos procedimientos básicos. Sin ir más lejos, conozco a muchos adultos que no tienen ningún reparo en reconocer abiertamente que tendrían dificultades para realizar una división con papel y lápiz.

piramidePero, ¿alguna vez os habéis parado a pensar cómo se lo hacían para calcula en el antiguo Egipto? Los papiros son casi ininteligibles, así que, ¡imaginad si los escritos son sobre matemáticas!

Para empezar, el sistema de numeración no es el mismo que usamos hoy en día. en el periodo Predinástico se usaba un sistema de numeración decimal escrito en jeroglíficos:

numeros_jeroglificos

Los demás valores se expresaban con la repetición del símbolo, el número de veces que fuera necesario. El orden de los símbolos no era importante, ya que cada símbolo tenía un único valor.

Alrededor de 2150 a. C se empezó a usar un sistema hierático, formas más simples que permitían mayor rapidez y comodidad a los escribas. Se introdujeron símbolos particulares para algunas cantidades como 20, 30, etc.

Sumas y restas

Simplemente unían los signos para sumar: suma y resta

Si los pies señalaban en la dirección de la escritura, significaban suma. Y si señalaban la dirección contraria, resta.

Las sumas se realizaban del modo más simple posible. Se agrupaban las cifras iguales y , en el caso de tener 10 iguales se sustituían por uno de la siguiente potencia de 10.

Las restas se realizaban de modo análogo a las sumas. Se descomponía una decena en 10 unidades y se eliminaban tantas unidades del minuendo como indicaba el sustraendo. Del mismo modo para el resto de centenas, unidades de millar, etc.

 

Multiplicación

Para multiplicar usaban un método conocido como duplicación y mediación. Este método consiste únicamente en sumar y multiplicar por dos. Por ejemplo, para multiplicar 36×40

  1. Escribimos dos columnas. En la primera columna escribimos el mayor de los números que queremos multiplicar (40) y posteriormente sus dobles.
  2. En la segunda columna escribimos un 1 y sus dobles.
  3. Los dobles se escribirán hasta obtener en la segunda columna el mayor número posible pero sin llegar al segundo número que queremos multiplicar (36).
  4. Marcamos las cifras necesarias, de la segunda columna, que sumen el número menor (el 36).
  5. El resultado de la multiplicación es la suma de las cifras de la primera columna marcadas.

40          1

80          2

160        4

320        8

640        16

1.280     32 (paramos aquí porque el próximo doble es 64 >36)

Marcamos el 8 y el 32 porque 32+4=36, y cogemos los números correspondientes de la primera columna.

Por tanto,  40×36 = 160 + 1.280 = 1.440

División

Para dividir dos números usaban el procedimiento inverso de la multiplicación.

Por ejemplo. si queremos dividir 42:7

  1. Se forman las dos columnas pero em la primera columna se escribe el divisor (7) y sus dobles hasta obtener el mayor número posible pero sin llegar al dividendo (42).
  2. En esta ocasión se marcan los números de la primera columna cuya suma es el dividendo, y sumando los correspondientes de la segunda columna se halla el cociente.

7            1

14          2

28          4

56          8

Marcamos el 14 y el 28 porque 14+28=42, y cogemos los números correspondientes de la segunda columna.

42:7 = 2 + 4 = 6

Pero esta división era exacta, ¿qué pasa cuando no lo es? En ese caso la operación se complica bastante más. Los escribas egipcios usaban las fracciones unitarias para acabar de completar. En la segunda columna escribían la fracción unitaria y en la primera la parte correspondiente del divisor.

Veamos por ejemplo, 25:3

3            1

6            2

12          4

24          8

1            1/3

25 = 24 + 1

Por tanto, 25:3 = 8+1/3

jeroglificoCon esto vemos que el trabajo de dividir no consiste únicamente en duplicar y sumar. Este caso es muy sencillo, sólo es necesario añadir 1/3. Pero ¿de qué forma sabían las fracciones a escribir en la segunda columna? No se han encontrado pruebas que expliquen qué fracciones usar, parece que se basaba sobretodo en la práctica.

Así que, aunque haya personas que olvidan el procedimiento moderno, ¿no os parece que es mucho más sencillo que el usado por los antiguos egipcios? Muy probablemente estos procedimientos los olvidarían muchas más personas.

¿De dónde viene…?

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Estamos muy acostumbrados a escribir operaciones matemáticas utilizando números y signos en expresiones algebraicas. Tenemos este lenguaje  tan interiorizado que nos parece que siempre se han escrito así las matemáticas. Pero nada más lejos de la realidad. ¿Alguna vez te has parado a pensar de dónde sale el signo “igual” o por qué en las ecuaciones la incógnita es una ”x”?

Aquí intento dar respuesta a algunas preguntas de este tipo.

 

¿Cuándo se empezaron a usar las cifras arábigas?

Todos sabemos que las cifras que para representar los números  (1, 2, 3,…) usamos los números arábigos (también llamados números indoarábigos). Estos números reciben este nombre porque los árabes los introdujeron en Europa aunque se empezaron a usar en la India.

Liber-Abaci-Book-Of-Calculation-002En la Edad Media, Fibonacci aprendió éste sistema de numeración adoptado y mejorado por los árabes. En su tratado “Líber Abaci”, publicado en 1202, empleaba este sistema de numeración, enseñando su uso en aritmética e introduciendo definitivamente estos números.

Respecto al origen de las cifras, existen diferentes teorías que intentan explicar el motivo por el cual se eligieron estos símbolos. Una de las más populares, aunque errónea, propone que las formas originales indicaban su valor a través de la cantidad de ángulos que contenían.

Imagen1

¿De dónde surge el signo =?

igualEl matemático y médico galés Robert Recorde usó por primera vez este símbolo en 1557 en su tratado TheWhetstone of Witte. Eligió dos líneas paralelas puesto que “dos cosas no pueden ser más iguales que dos rectas paralelas”.

Inicialmente las líneas del símbolo eran más largas, pero posteriormente se acortaron. El uso de este símbolo no fue popularizado y aceptado hasta comienzos del siglo XVIII.

 

¿Por qué la incógnita es x?

XEn árabe Shei significaba “una cosa” y es la palabra que se usaba en los tratados matemáticos para representar una cantidad numérica no conocida. Cuando estos escritos llegaron a Europa y se tradujeron, esta palabra se tradujo a xei, mucho más sencilla de leer en el alfabeto griego, puesto que no existia una letra que representara “Sh”. Con el tiempo se fue acortando hasta convertirse simplemente en una “x”.

¿Por qué se llama número Pi?

PiEl número pi (3,14159265358979323846…) es la relación que existe entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. A lo largo de la historia se han realizado diferentes aproximaciones de su valor, pero no fue hasta el siglo XVIII que se usó el nombre de Pi.

Se decidió usar la letra griega π (pi) por ser la inicial de las palabras periferia (περιφέρεια) y perímetro  (περίμετρον). Se usó por primera vez alrededor del año 1700, pero no se popularizó hasta 1748 , gracia a la obra “Introducción al cálculo infinitesimal”  de Leonhard Euler.

¿Por qué un metro mide lo que mide?

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La forma de medir una longitud o distancia no ha sido la misma a lo largo de la historia ni en todos los lugares. Las primeras referencias utilizadas fueron partes del cuerpo humano (codo, dedo, mano, pie, etc.). Posteriormente se utilizaron otras unidades, como por ejemplo la vara, que tenían longitudes diferentes según el lugar.

unidadesnatur

A partir del siglo XVII se intentó encontrar una medida común para todos. La idea era crear un sistema de medidas que procediera de la naturaleza y que fuese inalterable.

cuarta_parteEl 19 de marzo de 1791, la Academia de Ciencias de París propuso que la unidad básica del nuevo sistema de unidades fuese el metro y que mediera la diezmillonésima parte del cuadrante del meridiano terrestre que pasa por París.

Para definir el tamaño que tendría el metro, era necesario medir este  cuadrante del meridiano. Para ello, Delambre midió el arco del meridiano entre Dunkerque y Rodez y Méchain, entre Rodez y Barcelona.

Repeating_circleLas medidas se realizaron entre junio de 1792 y noviembre de 1978. El método utilizado fue el de triangulación: Midieron los ángulos de una sucesión de triángulos adyacentes. Conocidos los ángulos, pudieron calcular los lados de los triángulos y determinar así la longitud del meridiano.

Parece ser que Méchain cometió un error en la medición al principio, en el tramo de Barcelona pero cuando lo descubrió decidió ocultarlo. Delambre al revisar las notas de Méchain descubrió el error, pero tampoco lo reveló.

Según las mediciones efectuadas hoy en día con satélites, la longitud del meridiano desde el Polo hasta el Ecuador es de 10.002.290 metros. Así que la longitud que conocemos como metro es 0,2 mm más corta de lo que debería ser. Teniendo en cuenta las herramientas que se usaron en aquel momento para realizar las medidas y los cálculos, es un error mínimo.

portada-medida-todas-cosas_grandeSi queréis conocer detalles sobre todo el proceso, en el libro La medida de todas las cosas narra la historia de cómo se realizaron estas medidas y las numerosas dificultades con las que se encontraron sus protagonistas.

Hoy en día el metro se define como la distancia recorrida por la luz en el vacío durante un intervalo de tiempo de 1 /299.792.458 segundos.

El príncipe de los aficionados

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Esta semana se han Pierre_de_Fermatcumplido 350 años de la muerte del matemático francés del siglo XVII conocido como “príncipe de los aficionados”, Pierre de Fermat .

Fermat estudió Derecho, aunque siempre estuvo muy interesado en las matemáticas, dedicando su tiempo de ocio a estudiarlas. Sus aportaciones a esta ciencia fueron innumerables: cálculo diferencial, teoría de probabilidades, descubrió el principio fundamental de la geometría analítica, etc. Pero la mayoría de nosotros lo conocemos por el denominado último Teorema de Fermat  y la historia que le rodea.

Mientras preparaba la edición de obras completas de Pierre de Fermat, su hijo, Samuel, encontró una anotación en el libro La Aritmética de Diofanto (editada por Claude Gaspard Bachet de Méziriac en 1621):

formulaEs imposible dividir un cubo en suma de dos cubos, o un bicuadrado en suma de dos bicuadrados, o en general, cualquier potencia superior a dos en dos potencias del mismo grado; he descubierto una demostración maravillosa de esta afirmación. Pero este margen es demasiado angosto para contenerla.

Andrew_wilesLo fascinante de esta afirmación (xn+yn=zn no tiene solución para n mayor que 2) es que aparentemente es muy sencilla. De hecho, si tomamos n=2 obtenemos el famoso Teorema de Pitágoras que todos conocemos. Pero esconde mucho más de lo que parece. La frase “he descubierto una demostración maravillosa” fue la culpable de muchos quebraderos de cabeza de grandes matemáticos durante siglos. Pasaron 350 años hasta que Andrew Wiles consiguió demostrar por fin el último Teorema de Fermat.

¿Realmente Fermat fue capaz de demostrar un teorema que nadie más fue capaz de demostrar durante tanto tiempo y utilizando resultados desconocidos en el siglo XVII?

Y para dar un toque freak a la entrada un monólogo y canción sobre Fermat de AitorMenta. Lo reconozco, se me ha enganchado el estribillo ♫ Fermat, te has pasado macho… ♫

La probabilidad

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Ya estamos en diciembre. Mes de frío, fiestas, regalos… y, cómo no, la Lotería de Navidad. Cada año por estas fechas, la red se llena de noticias y artículos sobre las probabilidades de que te toque el Gordo.

bomboY para muestra, algunos enlaces:
gaussianos.com
www.laloterianavidad.com
elpais.com

Los juegos de azar están muy relacionados con la probabilidad. De hecho, se considera que la probabilidad nació justamente para resolver algunos problemas sobre estos juegos.

Pascal

Blais Pascal

Fermat

Pierre Fermat

En la Edad Media aparecen los primeros problemas y libros de probabilidad, relacionados siempre con los juegos de dados, de cartas, etc. Pero se considera que el inicio de la probabilidad tiene lugar en el siglo XVII cuando Pierre Fermat y Blaise Pascal se escriben cartas aplicando métodos matemáticos para tratar de resolver algunos problemas relacionados con los juegos de azar. Empezando, así,  a formalizar la teoría de las probabilidades.

Ni Pascal ni Fermat expusieron sus resultados por escrito y fue el físico-matemático holandés Christian Huygens quien en 1657 publicó un breve tratado titulado Sobre los Cálculos en los Juegos de Azar inspirado en las cartas entre Fermat y Pascal, en el que, además, extendió algunos resultados de Pascal y aclaró varios problemas para tres o más jugadores.

Aunque la probabilidad surgió para tratar problemas relacionados con juegos de azar, tiene muchas aplicaciones en otros campos como son la genética, la física, la tecnología, el estudio de seguros de vida, fondos de pensiones, problemas de tráfico, etc.

Cuatro colores son suficientes

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Todos nosotros de pequeños habíamos tenido que colorear mapas. Cogíamos diferentes lápices y pintábamos cada país de un color diferente. Pero, ¿cuántos colores necesitábamos como mínimo para que dos países fronterizos fuesen de distinto color? Normalmente usábamos muchos colores, pero ¿sabías que con cuatro es suficiente?

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Ejemplo de mapa coloreado

A mediados del siglo XIX los impresores de mapas consideraban que cuatro colores son suficientes para colorear adecuadamente cualquier mapa, pero nunca se había demostrado. En 1852 surgió por primera vez la pregunta de si este hecho se podía demostrar y posteriormente, en 1878 se propuso como problema interesante en la London Mathematical Society.

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Kenneth Appel y Wolfgang Haken

Aunque parece un enunciado sencillo y utilizado como cierto por los impresores, fue necesario más de un siglo para poder demostrar formalmente que, efectivamente, cuatro colores son suficientes para colorear un mapa cualquiera de modo que dos países fronterizos sean de color diferente. En 1976fue demostrado por Kenneth Appel y Wolfgang Haken. Pero el verdadero punto de inflexión de este teorema es que por primera vez se utilizaron ordenadores para demostrarlo. Este hecho no agrada a todo el mundo. Los matemáticos más puros, es que la demostración no tiene elegancia: “una buena prueba matemática es similar a un poema —¡pero esto es una guía telefónica!”

Este teorema se convirtió en pieza clave de la llamada teoría de grafos, puesto que para llegar a demostrarlo se hicieron muchos avances en esta disciplina. El teorema formulado formalmente sería “Los vértices de cualquier grafo plano pueden ser coloreados con cuatro colores de forma que los vértices adyacentes estén coloreados con colores diferentes.”